Πώς βελτιστοποιεί ο αλγόριθμος Rotosolve τις παραμέτρους ( θ ) στο VQE και ποια είναι τα βασικά βήματα που εμπλέκονται σε αυτή τη διαδικασία βελτιστοποίησης;

/ / Δημοσιεύθηκε στο Τεχνητή νοημοσύνη, EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning, Ποικιλιακό κβαντικό Eigensolver (VQE), Βελτιστοποίηση των VQE με το Rotosolve στο Tensorflow Quantum, Ανασκόπηση εξέτασης

Ο αλγόριθμος Rotosolve είναι μια εξειδικευμένη τεχνική βελτιστοποίησης που έχει σχεδιαστεί για τη βελτιστοποίηση των παραμέτρων θ στο πλαίσιο Variational Quantum Eigensolver (VQE). Ο VQE είναι ένας υβριδικός κβαντικός-κλασικός αλγόριθμος που στοχεύει να βρει την ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης ενός κβαντικού συστήματος. Το κάνει παραμετροποιώντας μια κβαντική κατάσταση με ένα σύνολο κλασικών παραμέτρων θ και χρησιμοποιώντας έναν κλασικό βελτιστοποιητή για την ελαχιστοποίηση της προσδοκώμενης τιμής του Hamiltonian του συστήματος. Ο αλγόριθμος Rotosolve στοχεύει συγκεκριμένα τη βελτιστοποίηση αυτών των παραμέτρων πιο αποτελεσματικά από τις παραδοσιακές μεθόδους.

Βασικά βήματα που εμπλέκονται στη βελτιστοποίηση Rotosolve

1. Αρχική Παραμετροποίηση:
Στην αρχή οι παράμετροι θ αρχικοποιούνται. Αυτές οι παράμετροι ορίζουν την κβαντική κατάσταση |ψ(θ)⟩ που θα χρησιμοποιηθεί για την προσέγγιση της βασικής κατάστασης του Hamiltonian H. Η επιλογή των αρχικών παραμέτρων μπορεί να είναι τυχαία ή να βασίζεται σε κάποια ευρετική.

2. Αποσύνθεση της αντικειμενικής συνάρτησης:
Η αντικειμενική συνάρτηση στο VQE είναι συνήθως η προσδοκώμενη τιμή του Hamiltonian:

    \[ E(θ) = ⟨ψ(θ)| H |ψ(θ)⟩ \]

Ο αλγόριθμος Rotosolve εκμεταλλεύεται το γεγονός ότι η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί συχνά να αποσυντεθεί σε ένα άθροισμα ημιτονοειδών συναρτήσεων σε σχέση με κάθε παράμετρο. Αυτό είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικό όταν η ansatz (δοκιμαστική κυματοσυνάρτηση) αποτελείται από περιστροφές γύρω από τη σφαίρα Bloch.

3. Βελτιστοποίηση μίας παραμέτρου:
Η βασική ιδέα του Rotosolve είναι να βελτιστοποιήσει μία παράμετρο τη φορά, διατηρώντας τις υπόλοιπες σταθερές. Για μια δεδομένη παράμετρο θ_i, η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί ως:

    \[ E(θ) = A \cos(θ_i) + B \sin(θ_i) + C \]

όπου A, B, να C είναι συντελεστές που εξαρτώνται από τις άλλες σταθερές παραμέτρους και τη Χαμιλτονιανή.

4. Εύρεση της βέλτιστης γωνίας:
Δίνεται η ημιτονοειδής μορφή της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς θ_i, η βέλτιστη τιμή για θ_i μπορεί να βρεθεί αναλυτικά. Το ελάχιστο της συνάρτησης A \cos(θ_i) + B \sin(θ_i) + C εμφανίζεται σε:

    \[ θ_i^{\text{opt}} = \arctan2(B, A) \]

Εδώ, \arctan2 είναι η συνάρτηση του τόξου με δύο ορίσματα, η οποία λαμβάνει υπόψη τα πρόσημα και των δύο A και B για να προσδιορίσετε το σωστό τεταρτημόριο της γωνίας.

5. Επαναληπτική ενημέρωση:
Αφού βρεθεί η βέλτιστη τιμή για θ_i, η παράμετρος ενημερώνεται και η διαδικασία επαναλαμβάνεται για την επόμενη παράμετρο. Αυτή η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται έως ότου επιτευχθεί σύγκλιση, που σημαίνει ότι οι αλλαγές στις παραμέτρους έχουν ως αποτέλεσμα αμελητέες αλλαγές στη συνάρτηση αντικειμένου.

Παράδειγμα

Σκεφτείτε μια απλή ρύθμιση VQE με σύστημα δύο qubit και Hamiltonian H = Z_1 Z_2 + X_1. Το ansatz θα μπορούσε να είναι μια σειρά από παραμετροποιημένες περιστροφές, όπως:

    \[ |ψ(θ)⟩ = R_y(θ_1) ⊗ R_y(θ_2) |00⟩ \]

όπου R_y(θ) είναι μια περιστροφή γύρω από τον άξονα Υ κατά γωνία θ.

1. Αρχικοποίηση:
Ας αρχικοποιήσουμε θ_1 = 0 και θ_2 = 0.

2. Αποσύνθεση:
Η αξία προσδοκίας ⟨ψ(θ)| H |ψ(θ)⟩ μπορεί να αποσυντεθεί σε ημιτονοειδείς συναρτήσεις σε σχέση με κάθε παράμετρο.

3. Η Optimize θ_1:
σταθερός θ_2 = 0 και βελτιστοποίηση θ_1. Η τιμή προσδοκίας μπορεί να γραφτεί ως εξής:

    \[ E(θ_1, 0) = A_1 \cos(θ_1) + B_1 \sin(θ_1) + C_1 \]

Υπολογίζω A_1, B_1, να C_1 με βάση την κβαντική κατάσταση και το Hamiltonian. Εύρημα θ_1^{\text{opt}} = \arctan2(B_1, A_1).

4. Ενημέρωση θ_1:
Ενημέρωση θ_1 προς την θ_1^{\text{opt}}.

5. Η Optimize θ_2:
σταθερός θ_1 = θ_1^{\text{opt}} και βελτιστοποίηση θ_2. Η τιμή προσδοκίας μπορεί να γραφτεί ως εξής:

    \[ E(θ_1^{\text{opt}}, θ_2) = A_2 \cos(θ_2) + B_2 \sin(θ_2) + C_2 \]

Υπολογίζω A_2, B_2, να C_2 με βάση τις ενημερωμένες παραμέτρους και το Hamiltonian. Εύρημα θ_2^{\text{opt}} = \arctan2(B_2, A_2).

6. Ενημέρωση θ_2:
Ενημέρωση θ_2 προς την θ_2^{\text{opt}}.

7. Επαναλέγω:
Επαναλάβετε τη διαδικασία για θ_1 και θ_2 έως ότου οι παράμετροι συγκλίνουν σε τιμές που ελαχιστοποιούν την αντικειμενική συνάρτηση.

Πλεονεκτήματα του Rotosolve

- Αναλυτική Βελτιστοποίηση: Ο αλγόριθμος Rotosolve αξιοποιεί την ημιτονοειδή φύση της αντικειμενικής συνάρτησης σε σχέση με κάθε παράμετρο, επιτρέποντας αναλυτικές λύσεις αντί να βασίζεται αποκλειστικά σε αριθμητικές μεθόδους.
- Αποδοτικότητα: Με τη βελτιστοποίηση μιας παραμέτρου κάθε φορά, το Rotosolve μπορεί να είναι πιο αποτελεσματικό από τις μεθόδους που βασίζονται σε κλίση, ειδικά σε χώρους παραμέτρων υψηλών διαστάσεων.
- Σύγκλιση: Ο αλγόριθμος συχνά συγκλίνει ταχύτερα στην ελάχιστη ενεργειακή κατάσταση λόγω της στοχευμένης προσέγγισής του στη βελτιστοποίηση παραμέτρων.

Υλοποίηση στο TensorFlow Quantum

Το TensorFlow Quantum (TFQ) παρέχει ένα πλαίσιο για την ενοποίηση του κβαντικού υπολογισμού με τη μηχανική μάθηση μέσω του TensorFlow. Η εφαρμογή του αλγόριθμου Rotosolve στο TFQ περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:

1. Ορίστε το Κβαντικό κύκλωμα:
Χρησιμοποιήστε το TFQ για να ορίσετε το παραμετροποιημένο κβαντικό κύκλωμα (ansatz). Για παράδειγμα:

python
   import tensorflow as tf
   import tensorflow_quantum as tfq
   import cirq

   qubits = [cirq.GridQubit(0, 0), cirq.GridQubit(0, 1)]
   circuit = cirq.Circuit()
   circuit.append(cirq.ry(tfq.util.create_symbol('θ1')).on(qubits[0]))
   circuit.append(cirq.ry(tfq.util.create_symbol('θ2')).on(qubits[1]))

2. Ορίστε το Hamiltonian:
Ορίστε το Hamiltonian για το κβαντικό σύστημα. Για παράδειγμα:

python
   hamiltonian = cirq.Z(qubits[0]) * cirq.Z(qubits[1]) + cirq.X(qubits[0])

3. Δημιουργήστε το επίπεδο προσδοκίας:
Δημιουργήστε ένα επίπεδο για να υπολογίσετε την προσδοκώμενη τιμή του Hamiltonian.

python
   expectation_layer = tfq.layers.Expectation()

4. Καθορίστε την αντικειμενική συνάρτηση:
Ορίστε την αντικειμενική συνάρτηση με βάση την τιμή προσδοκίας.

python
   def objective_function(θ):
       return expectation_layer(circuit, symbol_names=['θ1', 'θ2'], symbol_values=θ, operators=hamiltonian)

5. Εφαρμόστε τον αλγόριθμο Rotosolve:
Εφαρμόστε τον αλγόριθμο Rotosolve για βελτιστοποίηση των παραμέτρων θ.

{{EJS9}}
Συμπέρασμα
Ο αλγόριθμος Rotosolve παρέχει μια ισχυρή μέθοδο για τη βελτιστοποίηση των παραμέτρων στο πλαίσιο Variational Quantum Eigensolver. Αξιοποιώντας την ημιτονοειδή φύση της αντικειμενικής συνάρτησης σε σχέση με κάθε παράμετρο, το Rotosolve επιτυγχάνει αποτελεσματική και συχνά ταχύτερη σύγκλιση σε σύγκριση με τις παραδοσιακές μεθόδους βελτιστοποίησης. Η υλοποίησή του στο TensorFlow Quantum αποτελεί παράδειγμα της ενσωμάτωσης του κβαντικού υπολογισμού με τη μηχανική μάθηση, ανοίγοντας το δρόμο για πιο προηγμένους κβαντικούς αλγόριθμους και εφαρμογές.
Άλλες πρόσφατες ερωτήσεις και απαντήσεις σχετικά με EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning:
Δείτε περισσότερες ερωτήσεις και απαντήσεις στο EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning
Περισσότερες ερωτήσεις και απαντήσεις:
Κατηγορίες: , , , , ,