Μια υπολογίσιμη συνάρτηση, στο πλαίσιο της θεωρίας της υπολογιστικής πολυπλοκότητας, αναφέρεται σε μια συνάρτηση που μπορεί να υπολογιστεί αποτελεσματικά από έναν αλγόριθμο. Είναι μια θεμελιώδης έννοια στον τομέα της επιστήμης των υπολογιστών και παίζει σημαντικό ρόλο στην κατανόηση των ορίων του υπολογισμού.
Για να ορίσουμε μια υπολογίσιμη συνάρτηση, πρέπει να δημιουργήσουμε ένα επίσημο πλαίσιο που μας επιτρέπει να συλλογιστούμε σχετικά με τις δυνατότητες και τους περιορισμούς των υπολογιστικών μοντέλων. Ένα τέτοιο πλαίσιο είναι η μηχανή Turing, η οποία εισήχθη από τον Alan Turing το 1936. Μια μηχανή Turing είναι ένα αφηρημένο μαθηματικό μοντέλο που αποτελείται από μια ταινία χωρισμένη σε κελιά, μια κεφαλή ανάγνωσης-εγγραφής και ένα σύνολο καταστάσεων. Το μηχάνημα λειτουργεί διαβάζοντας το σύμβολο στο τρέχον κελί, μεταβαίνοντας σε μια νέα κατάσταση με βάση την τρέχουσα κατάσταση και το σύμβολο και τροποποιώντας το σύμβολο στο τρέχον κελί. Μπορεί επίσης να μετακινήσει την κεφαλή ανάγνωσης-εγγραφής ένα κελί προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά.
Στο πλαίσιο των μηχανών Turing, μια υπολογίσιμη συνάρτηση ορίζεται ως μια συνάρτηση για την οποία υπάρχει μια μηχανή Turing η οποία, δεδομένης οποιασδήποτε εισόδου, σταματά και παράγει τη σωστή έξοδο για αυτήν την είσοδο. Με άλλα λόγια, μια συνάρτηση είναι υπολογίσιμη εάν υπάρχει ένας αλγόριθμος που μπορεί να υπολογίσει την τιμή της για οποιαδήποτε δεδομένη είσοδο. Αυτή η έννοια συνδέεται στενά με την έννοια της αποφασιστικότητας, η οποία αναφέρεται στην ικανότητα προσδιορισμού του εάν μια δεδομένη είσοδος ικανοποιεί μια συγκεκριμένη ιδιότητα.
Η έννοια των υπολογίσιμων συναρτήσεων μπορεί να επισημοποιηθεί περαιτέρω χρησιμοποιώντας την έννοια της πολυπλοκότητας του χρόνου. Η χρονική πολυπλοκότητα μετρά το χρόνο που απαιτείται από έναν αλγόριθμο για την επίλυση ενός προβλήματος ως συνάρτηση του μεγέθους της εισόδου. Μια συνάρτηση λέγεται ότι είναι υπολογίσιμη σε πολυωνυμικό χρόνο εάν υπάρχει μια μηχανή Turing που μπορεί να υπολογίσει τη συνάρτηση σε έναν αριθμό βημάτων που είναι πολυωνυμική ως προς το μέγεθος της εισόδου. Οι υπολογιστικές συναρτήσεις πολυωνυμικού χρόνου θεωρούνται αποτελεσματικές, καθώς ο χρόνος εκτέλεσης τους αυξάνεται το πολύ πολυωνυμικά με το μέγεθος εισόδου.
Για να δείξουμε την έννοια των υπολογίσιμων συναρτήσεων, ας εξετάσουμε τη συνάρτηση που καθορίζει εάν ένας δεδομένος αριθμός είναι πρώτος. Αυτή η συνάρτηση παίρνει μια είσοδο n και επιστρέφει true αν το n είναι πρώτος και ψευδές διαφορετικά. Η συνάρτηση δοκιμής πρωταρχικότητας είναι υπολογίσιμη, καθώς υπάρχει ένας αλγόριθμος, όπως το κόσκινο του Ερατοσθένη, που μπορεί να καθορίσει την πρωταρχικότητα οποιουδήποτε δεδομένου αριθμού.
Αντίθετα, εξετάστε τη συνάρτηση που καθορίζει εάν ένα δεδομένο πρόγραμμα σταματά σε μια συγκεκριμένη είσοδο. Αυτή η συνάρτηση, γνωστή ως πρόβλημα διακοπής, δεν είναι υπολογίσιμη. Αυτό αποδείχθηκε από τον Alan Turing το 1936, χρησιμοποιώντας μια τεχνική γνωστή ως διαγωνοποίηση. Η απόδειξη του Turing έδειξε ότι δεν μπορεί να υπάρξει αλγόριθμος που να μπορεί να αποφασίσει, για οποιοδήποτε δεδομένο πρόγραμμα και είσοδο, εάν το πρόγραμμα θα σταματήσει ή θα εκτελεστεί για πάντα.
Μια υπολογίσιμη συνάρτηση στο πλαίσιο της θεωρίας της υπολογιστικής πολυπλοκότητας αναφέρεται σε μια συνάρτηση που μπορεί να υπολογιστεί αποτελεσματικά από έναν αλγόριθμο. Είναι μια θεμελιώδης έννοια στην επιστήμη των υπολογιστών και συνδέεται στενά με την έννοια της αποφασιστικότητας. Η έννοια των υπολογίσιμων συναρτήσεων επισημοποιείται χρησιμοποιώντας μηχανές Turing και χρονική πολυπλοκότητα. Ενώ πολλές συναρτήσεις είναι υπολογίσιμες, υπάρχουν επίσης συναρτήσεις, όπως το πρόβλημα διακοπής, που αποδεδειγμένα δεν είναι υπολογίσιμες.
Άλλες πρόσφατες ερωτήσεις και απαντήσεις σχετικά με Υπολογιζόμενες λειτουργίες:
- Τι σημαίνει ότι οι διαφορετικές παραλλαγές των Μηχανών Turing είναι ισοδύναμες σε υπολογιστική ικανότητα;
- Εξηγήστε τη σχέση μεταξύ μιας υπολογίσιμης συνάρτησης και της ύπαρξης μιας μηχανής Turing που μπορεί να την υπολογίσει.
- Ποια είναι η σημασία μιας μηχανής Turing που σταματά πάντα όταν υπολογίζει μια υπολογίσιμη συνάρτηση;
- Μπορεί μια μηχανή Turing να τροποποιηθεί ώστε να δέχεται πάντα μια λειτουργία; Εξηγήστε γιατί ή γιατί όχι.
- Πώς μια μηχανή Turing υπολογίζει μια συνάρτηση και ποιος είναι ο ρόλος των ταινιών εισόδου και εξόδου;