Στο πεδίο της θεωρίας της υπολογιστικής πολυπλοκότητας, ο προσδιορισμός του εάν δύο αλγόριθμοι εκτελούν την ίδια εργασία είναι ένα πρόβλημα που δεν μπορεί να επιλυθεί. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει γενικός αλγόριθμος ή διαδικασία που να μπορεί πάντα να καθορίσει εάν δύο αλγόριθμοι είναι ισοδύναμοι ως προς τις εργασίες που εκτελούν. Σε αυτή την απάντηση, θα περιγράψουμε τη διαδικασία σύγκρισης δύο αλγορίθμων και θα εξηγήσουμε γιατί αυτό το πρόβλημα δεν μπορεί να επιλυθεί.
Για να συγκρίνουμε δύο αλγόριθμους, πρέπει να αναλύσουμε τις συμπεριφορές τους και να προσδιορίσουμε εάν παράγουν τις ίδιες εξόδους για όλες τις πιθανές εισόδους. Μια κοινή προσέγγιση είναι η χρήση της ισοδυναμίας των μηχανών Turing, η οποία είναι ένα θεωρητικό μοντέλο υπολογισμού που συλλαμβάνει την έννοια του αλγοριθμικού υπολογισμού. Οι μηχανές Turing αποτελούνται από μια ταινία, μια κεφαλή ανάγνωσης-εγγραφής και ένα σύνολο καταστάσεων και μπορούν να εκτελέσουν διάφορες λειτουργίες στην ταινία με βάση την τρέχουσα κατάστασή τους και το σύμβολο κάτω από την κεφαλή ανάγνωσης-εγγραφής.
Για να συγκρίνουμε δύο αλγόριθμους χρησιμοποιώντας μηχανές Turing, μπορούμε να κατασκευάσουμε δύο μηχανές Turing που αντιπροσωπεύουν τους εν λόγω αλγόριθμους. Αυτές οι μηχανές Turing θα πρέπει να έχουν τα ίδια αλφάβητα εισόδου και εξόδου και θα πρέπει να προσομοιώνουν τη συμπεριφορά των αλγορίθμων σε όλες τις πιθανές εισόδους. Εάν οι δύο μηχανές Turing παράγουν την ίδια έξοδο για όλες τις εισόδους, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι αλγόριθμοι εκτελούν την ίδια εργασία.
Ωστόσο, ο προσδιορισμός του εάν δύο μηχανές Turing είναι ισοδύναμες είναι ένα αναπόφευκτο πρόβλημα. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος που να μπορεί πάντα να προσδιορίσει εάν δύο μηχανές Turing παράγουν την ίδια έξοδο για όλες τις εισόδους. Η απόδειξη αυτού του αποτελέσματος βασίζεται στην έννοια του προβλήματος διακοπής, η οποία δηλώνει ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος που να μπορεί να καθορίσει εάν μια δεδομένη μηχανή Turing σταματά σε μια δεδομένη είσοδο.
Για να δείτε γιατί το πρόβλημα της σύγκρισης δύο αλγορίθμων είναι αδιευκρίνιστο, εξετάστε το ακόλουθο σενάριο. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο αλγόριθμους Α και Β και θέλουμε να προσδιορίσουμε αν εκτελούν την ίδια εργασία. Μπορούμε να κατασκευάσουμε δύο μηχανές Turing TA και TB που προσομοιώνουν τις συμπεριφορές των A και B, αντίστοιχα. Εάν υπάρχει ένας αλγόριθμος που μπορεί να αποφασίσει εάν το TA και το TB είναι ισοδύναμα, μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε το πρόβλημα διακοπής. Συγκεκριμένα, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια μηχανή Turing TH που προσομοιώνει τη συμπεριφορά μιας δεδομένης μηχανής Turing T σε μια δεδομένη είσοδο I και επιστρέφει "halt" εάν το T σταματά στο I και "loop" διαφορετικά. Χρησιμοποιώντας τον υποθετικό αλγόριθμο για τη σύγκριση μηχανών Turing, μπορούμε να προσδιορίσουμε εάν το TH και μια μηχανή Turing που σταματά πάντα σε όλες τις εισόδους είναι ισοδύναμα. Εάν είναι ισοδύναμα, σημαίνει ότι η TH σταματά στο I. Διαφορετικά, σημαίνει ότι το TH κάνει βρόχο στο I. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την αδιευκρίνιστη ικανότητα του προβλήματος διακοπής, αποδεικνύοντας ότι το πρόβλημα της σύγκρισης δύο αλγορίθμων δεν μπορεί να προσδιοριστεί.
Η σύγκριση δύο αλγορίθμων για να καθοριστεί εάν εκτελούν την ίδια εργασία είναι ένα πρόβλημα που δεν μπορεί να αποφασιστεί. Αν και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ισοδυναμία των μηχανών Turing ως θεωρητικό πλαίσιο για αυτήν τη σύγκριση, δεν υπάρχει γενικός αλγόριθμος που να μπορεί πάντα να αποφασίσει εάν δύο αλγόριθμοι είναι ισοδύναμοι. Αυτό το αποτέλεσμα βασίζεται στο αδιευκρίνιστο πρόβλημα διακοπής και στο γεγονός ότι το πρόβλημα της σύγκρισης μηχανών Turing μπορεί να αναχθεί στο πρόβλημα διακοπής.
Άλλες πρόσφατες ερωτήσεις και απαντήσεις σχετικά με Αποδοτικότητα:
- Μπορεί μια ταινία να περιοριστεί στο μέγεθος της εισόδου (που ισοδυναμεί με την κεφαλή της μηχανής γύρισμα να περιορίζεται να κινείται πέρα από την είσοδο της ταινίας TM);
- Τι σημαίνει ότι οι διαφορετικές παραλλαγές των Μηχανών Turing είναι ισοδύναμες σε υπολογιστική ικανότητα;
- Μπορεί μια αναγνωρίσιμη γλώσσα Turing να σχηματίσει ένα υποσύνολο αποφασιζόμενης γλώσσας;
- Είναι επιλύσιμο το πρόβλημα διακοπής μιας μηχανής Turing;
- Εάν έχουμε δύο TM που περιγράφουν μια αποφασιζόμενη γλώσσα, η ερώτηση ισοδυναμίας εξακολουθεί να μην μπορεί να αποφασιστεί;
- Πώς διαφέρει το πρόβλημα αποδοχής για αυτόματα γραμμικά οριοθετημένα από αυτό των μηχανών Turing;
- Δώστε ένα παράδειγμα ενός προβλήματος που μπορεί να λυθεί από ένα γραμμικά οριοθετημένο αυτόματο.
- Εξηγήστε την έννοια της αποφασιστικότητας στο πλαίσιο των γραμμικών οριοθετημένων αυτόματα.
- Πώς επηρεάζει το μέγεθος της ταινίας σε γραμμικά περιορισμένα αυτόματα τον αριθμό των διακριτών διαμορφώσεων;
- Ποια είναι η κύρια διαφορά μεταξύ των γραμμικών οριοθετημένων αυτόματα και των μηχανών Turing;
Δείτε περισσότερες ερωτήσεις και απαντήσεις στο Decidability