Τα πλάτη των κβαντικών καταστάσεων είναι πάντα πραγματικοί αριθμοί;
Στον τομέα της κβαντικής πληροφορίας, η έννοια των κβαντικών καταστάσεων και των σχετικών πλάτη τους είναι θεμελιώδης. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα εάν το πλάτος μιας κβαντικής κατάστασης πρέπει να είναι πραγματικός αριθμός, είναι επιτακτική ανάγκη να εξετάσουμε τον μαθηματικό φορμαλισμό της κβαντικής μηχανικής και τις αρχές που διέπουν τις κβαντικές καταστάσεις.
Η κβαντομηχανική αντιπροσωπεύει την κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος που χρησιμοποιεί ένα μαθηματικό αντικείμενο γνωστό ως κυματική συνάρτηση ή διάνυσμα κατάστασης, που τυπικά συμβολίζεται με ( psi ) (psi) ή ( ket{psi} ) με συμβολισμό Dirac. Αυτό το διάνυσμα κατάστασης βρίσκεται σε έναν σύνθετο διανυσματικό χώρο που ονομάζεται χώρος Hilbert. Τα στοιχεία αυτού του χώρου, τα διανύσματα κατάστασης, είναι γενικά συναρτήσεις μιγαδικών τιμών.
Το πλάτος μιας κβαντικής κατάστασης αναφέρεται στους συντελεστές που εμφανίζονται στην επέκταση του διανύσματος κατάστασης ως προς μια επιλεγμένη βάση. Για ένα κβαντικό σύστημα που περιγράφεται από ένα διάνυσμα κατάστασης ( ket{psi} ), αν εκφράσουμε αυτή την κατάσταση ως βάση ( { ket{phi_i} } ), έχουμε:
[ ket{psi} = sum_i c_i ket{phi_i} ]Εδώ, ( c_i ) είναι τα σύνθετα πλάτη που σχετίζονται με τις βασικές καταστάσεις ( ket{phi_i} ). Αυτά τα πλάτη ( c_i ) είναι, γενικά, μιγαδικοί αριθμοί. Αυτό είναι μια άμεση συνέπεια της απαίτησης για τον εσωτερικό χώρο προϊόντος να είναι πλήρης και να δέχεται τις αρχές της κβαντικής υπέρθεσης και παρεμβολής.
Η πολύπλοκη φύση των πλατών είναι σημαντική για διάφορους λόγους:
1. Αρχή υπέρθεσης: Η κβαντομηχανική επιτρέπει την υπέρθεση καταστάσεων. Εάν οι (ket{psi_1}) και (ket{psi_2}) είναι δύο έγκυρες κβαντικές καταστάσεις, τότε οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός (άλφα ket{psi_1} + βήτα ket{psi_2}), όπου (άλφα) και (βήτα) είναι μιγαδικοί αριθμοί, είναι επίσης μια έγκυρη κβαντική κατάσταση. Οι μιγαδικοί συντελεστές (άλφα) και (βήτα) αντιπροσωπεύουν τα πλάτη των αντίστοιχων καταστάσεων στην υπέρθεση.
2. Ερμηνεία Πιθανοτήτων: Η πιθανότητα μέτρησης ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος σε ένα κβαντικό σύστημα καθορίζεται από το συντελεστή στο τετράγωνο του πλάτους. Εάν (c_i ) είναι το πλάτος μιας κατάστασης ( ket{phi_i} ), η πιθανότητα ( P_i ) να μετρηθεί η κατάσταση ( ket{phi_i} ) δίνεται από:
[ P_i = |c_i|^2 = c_i^* c_i ]όπου ( c_i^* ) είναι το μιγαδικό συζυγές του ( c_i ). Αυτή η πιθανότητα πρέπει να είναι ένας πραγματικός αριθμός μεταξύ 0 και 1, αλλά το ίδιο το πλάτος ( c_i ) μπορεί να είναι σύνθετο.
3. Επιδράσεις παρεμβολών: Η πολύπλοκη φύση των πλατών είναι απαραίτητη για την περιγραφή των φαινομένων παρεμβολής. Όταν παρεμβάλλονται δύο ή περισσότερα κβαντικά μονοπάτια, το προκύπτον πλάτος είναι το άθροισμα των επιμέρους πλατών και η διαφορά φάσης μεταξύ αυτών των πολύπλοκων πλατών οδηγεί σε εποικοδομητική ή καταστροφική παρεμβολή. Αυτή είναι μια θεμελιώδης πτυχή φαινομένων όπως το πείραμα της διπλής σχισμής.
4. Ενιαία Εξέλιξη: Η χρονική εξέλιξη μιας κβαντικής κατάστασης διέπεται από την εξίσωση Schrödinger, η οποία περιλαμβάνει τον τελεστή Hamiltonian. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι γενικά πολύπλοκες συναρτήσεις. Οι ενιαίοι τελεστές που περιγράφουν την εξέλιξη διατηρούν τον κανόνα του διανύσματος κατάστασης αλλά μπορούν να αλλάξουν τη φάση του, απαιτώντας έτσι τα πλάτη να είναι πολύπλοκα.
Για να επεξηγήσετε αυτά τα σημεία, εξετάστε ένα απλό παράδειγμα ενός qubit, της βασικής μονάδας κβαντικών πληροφοριών. Ένα qubit μπορεί να βρίσκεται σε μια υπέρθεση των βασικών καταστάσεων ( ket{0} ) και ( ket{1} ):
[ ket{psi} = alpha ket{0} + beta ket{1} ]Εδώ, ( άλφα ) και ( βήτα ) είναι μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε ( |άλφα|^2 + |βήτα|^2 = 1 ). Αυτή η συνθήκη κανονικοποίησης διασφαλίζει ότι η συνολική πιθανότητα εύρεσης του qubit σε οποιαδήποτε κατάσταση (ket{0}) ή (ket{1}) είναι 1. Η πολύπλοκη φύση των (άλφα) και (βήτα) επιτρέπει μια πλούσια δομή κβαντικών καταστάσεων και είναι απαραίτητο για εργασίες κβαντικού υπολογισμού και επεξεργασίας πληροφοριών.
Για παράδειγμα, θεωρήστε την πύλη Hadamard, μια θεμελιώδη κβαντική πύλη που χρησιμοποιείται για τη δημιουργία καταστάσεων υπέρθεσης. Όταν εφαρμόζεται στην κατάσταση βάσης ( ket{0} ), η πύλη Hadamard παράγει την κατάσταση:
[ ket{+} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} + ket{1}) ]Εδώ, το πλάτος και για τα δύο ( ket{0} ) και ( ket{1} ) είναι ( frac{1}{sqrt{2}} ), που είναι πραγματικός αριθμός. Ωστόσο, αν εφαρμόσουμε την πύλη Hadamard στην κατάσταση ( ket{1} ), λαμβάνουμε:
[ ket{-} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} – ket{1}) ]Σε αυτήν την περίπτωση, το πλάτος για ( ket{1} ) είναι ( -frac{1}{sqrt{2}} ), το οποίο εξακολουθεί να είναι πραγματικό. Ωστόσο, σκεφτείτε μια πύλη φάσης, η οποία εισάγει έναν πολύπλοκο παράγοντα φάσης. Η πύλη φάσης ( R(theta) ) δρα σε μια κατάσταση qubit ( ket{psi} = alpha ket{0} + beta ket{1} ) ως εξής:
[ R(theta) ket{psi} = alpha ket{0} + beta e^{itheta} ket{1} ]Εδώ, ( e^{itheta} ) είναι ένας μιγαδικός αριθμός με μοναδιαίο συντελεστή. Αυτή η λειτουργία δείχνει ξεκάθαρα ότι το πλάτος της κατάστασης ( ket{1} ) μπορεί να αποκτήσει έναν πολύπλοκο παράγοντα φάσης, τονίζοντας την αναγκαιότητα σύνθετων πλατών στην κβαντομηχανική.
Επιπλέον, εξετάστε το φαινόμενο της κβαντικής εμπλοκής, όπου η κατάσταση ενός σωματιδίου είναι εγγενώς συνδεδεμένη με την κατάσταση ενός άλλου, ανεξάρτητα από την απόσταση μεταξύ τους. Μια μπερδεμένη κατάσταση δύο qubits μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
[ ket{psi} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{00} + e^{iphi} ket{11}) ]Εδώ, (e^{iphi}) είναι ένας πολύπλοκος παράγοντας φάσης, που δείχνει ότι η σχετική φάση μεταξύ των συστατικών της κατάστασης εμπλοκής είναι σημαντική για την περιγραφή των ιδιοτήτων εμπλοκής.
Στον κβαντικό υπολογισμό, η χρήση πολύπλοκων πλατών είναι απαραίτητη για την υλοποίηση κβαντικών αλγορίθμων. Για παράδειγμα, ο αλγόριθμος του Shor για την παραγοντοποίηση μεγάλων ακεραίων και ο αλγόριθμος του Grover για την αδόμητη αναζήτηση βασίζονται και οι δύο στην παρεμβολή πολύπλοκων πλατών για να επιτύχουν την εκθετική τους επιτάχυνση σε σχέση με τους κλασικούς αλγόριθμους.
Η αναγκαιότητα σύνθετων πλατών είναι επίσης εμφανής στο πλαίσιο της κβαντικής διόρθωσης σφαλμάτων. Οι κβαντικοί κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων, όπως ο κώδικας Shor ή ο κώδικας Steane, κωδικοποιούν λογικά qubits σε μπερδεμένες καταστάσεις πολλαπλών φυσικών qubits. Τα πολύπλοκα πλάτη σε αυτούς τους κώδικες διασφαλίζουν ότι τα σφάλματα μπορούν να ανιχνευθούν και να διορθωθούν χωρίς να συμπτύσσονται οι κβαντικές πληροφορίες.
Το πλάτος μιας κβαντικής κατάστασης δεν χρειάζεται να είναι πραγματικός αριθμός. Η πολύπλοκη φύση των κβαντικών πλατών είναι μια θεμελιώδης πτυχή της κβαντικής μηχανικής, που επιτρέπει την περιγραφή της υπέρθεσης, της παρεμβολής και της εμπλοκής. Η χρήση μιγαδικών αριθμών είναι απαραίτητη για τη μαθηματική συνέπεια της κβαντικής θεωρίας και την πρακτική εφαρμογή των εργασιών επεξεργασίας κβαντικών πληροφοριών.
Άλλες πρόσφατες ερωτήσεις και απαντήσεις σχετικά με Κβαντικές βασικές αρχές πληροφοριών EITC/QI/QIF:
- Πώς λειτουργεί η πύλη κβαντικής άρνησης (quantum NOT ή Pauli-X gate);
- Γιατί η πύλη Hadamard είναι αυτοαναστρέψιμη;
- Εάν μετρήσετε το 1ο qubit της κατάστασης Bell σε μια ορισμένη βάση και στη συνέχεια μετρήσετε το 2ο qubit σε μια βάση περιστρεφόμενη κατά μια ορισμένη γωνία θήτα, η πιθανότητα να λάβετε προβολή στο αντίστοιχο διάνυσμα είναι ίση με το τετράγωνο του ημιτόνου του θήτα;
- Πόσα bit κλασικής πληροφορίας θα απαιτούνταν για να περιγραφεί η κατάσταση μιας αυθαίρετης υπέρθεσης qubit;
- Πόσες διαστάσεις έχει ένας χώρος 3 qubits;
- Θα καταστρέψει η μέτρηση ενός qubit την κβαντική υπέρθεση του;
- Μπορούν οι κβαντικές πύλες να έχουν περισσότερες εισόδους από εξόδους όπως οι κλασσικές πύλες;
- Η παγκόσμια οικογένεια κβαντικών πυλών περιλαμβάνει την πύλη CNOT και την πύλη Hadamard;
- Τι είναι ένα πείραμα διπλής σχισμής;
- Είναι η περιστροφή ενός φίλτρου πόλωσης ισοδύναμη με την αλλαγή της βάσης μέτρησης της πόλωσης φωτονίων;
Δείτε περισσότερες ερωτήσεις και απαντήσεις στο EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals