Στην επιστήμη της κβαντικής πληροφορίας, η έννοια των βάσεων διαδραματίζει κρίσιμο ρόλο στην κατανόηση και τον χειρισμό των κβαντικών καταστάσεων. Οι βάσεις είναι σύνολα διανυσμάτων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν οποιαδήποτε κβαντική κατάσταση μέσω ενός γραμμικού συνδυασμού αυτών των διανυσμάτων. Η υπολογιστική βάση, που συχνά δηλώνεται ως |0⟩ και |1⟩, είναι μία από τις πιο θεμελιώδεις βάσεις στον κβαντικό υπολογισμό, που αντιπροσωπεύει τις βασικές καταστάσεις ενός qubit. Αυτά τα διανύσματα βάσης είναι ορθογώνια μεταξύ τους, που σημαίνει ότι βρίσκονται σε γωνία 90 μοιρών μεταξύ τους στο μιγαδικό επίπεδο.
Όταν εξετάζουμε τη βάση με διανύσματα |+⟩ και |−⟩, που συχνά αναφέρονται ως βάση υπέρθεσης, είναι σημαντικό να αναλύσουμε τη σχέση τους με την υπολογιστική βάση. Τα διανύσματα |+⟩ και |−⟩ αντιπροσωπεύουν καταστάσεις υπέρθεσης που λαμβάνονται εφαρμόζοντας την πύλη Hadamard στις καταστάσεις |0⟩ και |1⟩, αντίστοιχα. Η κατάσταση |+⟩ αντιστοιχεί σε ένα qubit σε ίση υπέρθεση των |0⟩ και |1⟩, ενώ η κατάσταση |−⟩ αντιπροσωπεύει μια υπέρθεση με διαφορά φάσης π μεταξύ των συνιστωσών |0⟩ και |1⟩.
Για να προσδιορίσουμε εάν η βάση με τα διανύσματα |+⟩ και |−⟩ είναι κατά μέγιστο μη ορθογώνιο σε σχέση με την υπολογιστική βάση με |0⟩ και |1⟩, πρέπει να εξετάσουμε το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ αυτών των διανυσμάτων. Η ορθογωνικότητα δύο διανυσμάτων μπορεί να προσδιοριστεί με τον υπολογισμό του εσωτερικού γινομένου τους, το οποίο ορίζεται ως το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συστατικών των διανυσμάτων.
Για τα διανύσματα βάσης υπολογισμού |0⟩ και |1⟩, το εσωτερικό γινόμενο δίνεται με ⟨0|1⟩ = 0, υποδεικνύοντας ότι είναι ορθογώνια μεταξύ τους. Από την άλλη πλευρά, για τα διανύσματα βάσης υπέρθεσης |+⟩ και |−⟩, το εσωτερικό γινόμενο είναι ⟨+|−⟩ = 0, δείχνοντας ότι είναι επίσης ορθογώνια μεταξύ τους.
Στην κβαντομηχανική, δύο διανύσματα λέγονται ότι είναι κατά μέγιστο μη ορθογώνια εάν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι στη μέγιστη τιμή του, η οποία είναι 1 στην περίπτωση των κανονικοποιημένων διανυσμάτων. Με άλλα λόγια, τα μέγιστα μη ορθογώνια διανύσματα είναι όσο το δυνατόν πιο μακριά από το να είναι ορθογώνια.
Για να προσδιορίσουμε εάν η βάση με τα διανύσματα |+⟩ και |−⟩ είναι κατά μέγιστο μη ορθογώνιο σε σχέση με την υπολογιστική βάση, πρέπει να υπολογίσουμε το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ αυτών των διανυσμάτων. Το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ |+⟩ και |0⟩ είναι ⟨+|0⟩ = 1/√2 και το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ |+⟩ και |1⟩ είναι ⟨+|1⟩ = 1/√2. Ομοίως, το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ |−⟩ και |0⟩ είναι ⟨−|0⟩ = 1/√2, και το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ |−⟩ και |1⟩ είναι ⟨−|1⟩ = -1/√2.
Από αυτούς τους υπολογισμούς, μπορούμε να δούμε ότι τα εσωτερικά γινόμενα μεταξύ των διανυσμάτων βάσης υπέρθεσης και των διανυσμάτων βάσης υπολογιστικής δεν είναι στη μέγιστη τιμή τους 1. Επομένως, η βάση με τα διανύσματα |+⟩ και |−⟩ δεν είναι κατά μέγιστο μη ορθογώνιο σε σχέση με την υπολογιστική βάση με |0⟩ και |1⟩.
Η βάση με διανύσματα |+⟩ και |−⟩ δεν αντιπροσωπεύει μια μέγιστα μη ορθογώνια βάση σε σχέση με την υπολογιστική βάση με τα διανύσματα |0⟩ και |1⟩. Ενώ τα διανύσματα βάσης υπέρθεσης είναι ορθογώνια μεταξύ τους, δεν είναι κατά μέγιστο μη ορθογώνια σε σχέση με τα διανύσματα βάσης υπολογισμού.
Άλλες πρόσφατες ερωτήσεις και απαντήσεις σχετικά με Κλασικός έλεγχος:
- Γιατί ο κλασικός έλεγχος είναι ζωτικής σημασίας για την υλοποίηση κβαντικών υπολογιστών και την εκτέλεση κβαντικών λειτουργιών;
- Πώς το πλάτος μιας κατανομής Gauss στο πεδίο που χρησιμοποιείται για τον κλασικό έλεγχο επηρεάζει την πιθανότητα διάκρισης μεταξύ των σεναρίων εκπομπής και απορρόφησης;
- Γιατί η διαδικασία ανατροπής του σπιν ενός συστήματος δεν θεωρείται μέτρηση;
- Τι είναι ο κλασικός έλεγχος στο πλαίσιο του χειρισμού του spin σε κβαντικές πληροφορίες;
- Πώς επηρεάζει η αρχή της αναβαλλόμενης μέτρησης την αλληλεπίδραση μεταξύ ενός κβαντικού υπολογιστή και του περιβάλλοντος του;